中学までの知識で解ける! 大学入試問題中学までの知識で解ける! 大学入試問題

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数学
2012年度 
名古屋大

この問題に挑戦!

実際に大学入試で出題された問題だ。

xy平面上に,点(0,1)を通り,傾きがhの直線ℓがある。
(1) xy平面において,
ℓに関して点P(a,b)と対称な点
close
ℓに関して点P(a,b)と対称な点
直交する2直線の傾きの積は-1になります。
をQ(s,t)とする。このとき,abhを用いてstを表せ。ただし,点P(a,b)はℓ上にないとする。

(入試問題より一部抜粋)

どうやって考える?

どの考え方が一番使えそうか、1つ選んでみよう。

  • 線分PQの傾きと中点の座標について考える
  • 線分PQの長さについて考える
  • 線分PQと平行な直線について考える
  • 線分PQが点(0,1)を通ることについて考える

回答を選んでください。

正解!よくわかったね!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

おしい!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

こうやって解く!

実際にどんなポイントで解いたらいいか見ていこう。

  • 中3レベル

POINT1

点Pと点Qは直線ℓに関して対称な点だから、「線分PQは直線ℓと垂直」であり、「線分PQの中点Mは直線ℓ上にある」ということがわかる。

POINT2

線分PQと直線ℓが垂直なので、「線分PQの傾き」と「直線ℓの傾き」の積が-1になることを利用して、線分PQの傾きについて、stに関する式を立てる。

POINT3

線分PQの中点Mは直線ℓ上にあるので、点Mのx座標、y座標を直線ℓの式に代入して、stに関する式を立てる。立てた2つの式を連立方程式として解く。

解き方のステップをスライドで確認しよう。

  • STEP1.直線ℓと点P、Qの位置関係を確認しよう。

    STEP1.線分PQの垂直二等分線が直線lになる。
  • STEP2.直線ℓと点P、Qの位置関係を確認しよう。

    STEP2.直線lと線分PQは垂直に交わる。
  • STEP3.直線ℓと点P、Qの位置関係を確認しよう。

    STEP3.線分PQの中点Mは直線l上にある。

詳細な解き方を確認しよう。

詳細な解答

※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

考え方をまとめよう!

今回使った考え方をまとめよう。

使われている文字が多いため、式を立てるときや連立方程式を解くときは、丁寧に整理しながら計算しよう。
対称な図形の性質は、大学入試でも問われることが多いので、忘れずに覚えておこう。


線対称な図形

線対称な図形では、対応する点を結ぶ線分は、対称の軸によって垂直に2等分される。

線対称な図形