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中学までの知識で解ける! 大学入試問題中学までの知識で解ける! 大学入試問題

新高1のキミへ新高1のキミへ
数学
2013年度 
京都大

この問題に挑戦!

実際に大学入試で出題された問題だ。

 平行四辺形ABCDにおいて,辺ABを1:1に
内分
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内分とは…
線分AB上に点Pがあり、
AP:PB=mnが成り立つとき、
点Pは線分ABをmnに内分する、という。
内分
する点をE,辺BCを2:1に内分する点をF,辺CDを3:1に内分する点をGとする。線分CEと線分FGの交点をPとし,線分APを延長した直線と辺BCの交点をQとするとき,比AP:PQを求めよ。

(入試問題より一部抜粋)

どうやって考える?

どの考え方が使えそうか、1つ選んでみよう。

  • 円周角の定理
  • 三角形の合同
  • 三角形の相似
  • 三平方の定理

回答を選んでください。

正解!よくわかったね!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

おしい!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

こうやって解く!

実際にどんなポイントで解いたらいいか見ていこう。

  • 中3レベル
  • 高校生レベル

POINT1

まず、問題文の内容をもとに図をかこう。
平行四辺形が出てくるので、三角形の相似(三角形と比)の性質が使えないか、考えてみよう。

POINT2

三角形と比の性質が利用できそうだが、そのままでは、解けない。
補助線をひいて、考えよう。

補助線をひいて、考えよう

解き方のステップをスライドで確認しよう。

  • STEP1.問題文を図示すると下の図のようになる。

    STEP1.問題文を図示すると下の図のようになる。
  • STEP2.下の図のように補助線を引いてみよう。

    STEP2.下の図のように補助線を引いてみよう。
  • STEP3.三角形と比の性質を利用すれば,それぞれの線分の比を求めることができる。

    STEP3.三角形と比の性質を利用すれば,それぞれの線分の比を求めることができる。

詳細な解き方を確認しよう。

詳細な解き方を確認しよう。
上の図のように,点H,Iを定めると,AD//BCより,IA:BC=AE:EB=1:1
DH:FC=DG:GC=1:3より,辺IA,AD,DHの長さの比を求めることができる。

求めるのは,AP:PQ
ここでも,AD//BCに注目し,AP:PQ=HP:PF=IH:FCということがわかる。

よって,AP:PQ=IH:FC=(3+3+1/3):1=19:3

※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

POINT1

2つのベクトルAB、ADを用いて、ベクトルAP、AQを表すことを考えてみよう。
その際、点PがECとGFの交点であること、点QがAPとBCの交点であることから、直線のベクトル方程式を利用して、それぞれ2通りに表してみよう。

POINT2

直線のベクトル方程式

点P は直線上の任意の点とすると、異なる2点A 点A 、B 点B に対して、直線ABのベクトル方程式は、
ベクトル方程式t は実数)

高校生レベル

高校生レベルの解答

※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

考え方をまとめよう!

今回使った考え方をまとめよう。

三角形の相似

三角形の相似は、下記のいずれかの条件によって成立する。

①3組の辺の比がすべて等しい
②2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
③2組の角がそれぞれ等しい


三角形と比

次の2つの図形について、

①DE//BC ならば
AD:AB=AE:AC=DE:BC
②AD:AB=AE:AC ならば DE//BC

三角形と比

大学受験でも必要になる知識だ。

しっかりおさえておきたい。