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中学までの知識で解ける! 大学入試問題中学までの知識で解ける! 大学入試問題

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数学
2014年度 
千葉大

この問題に挑戦!

実際に大学入試で出題された問題だ。

pは奇数である素数とし,N=(p+1)(p+3)(p+5)とおく。
(1) Nは48の倍数であることを示せ。
(2) Nが144の倍数になるようなpの値を,小さい順に5つ求めよ。

(入試問題より一部抜粋)

どうやって考える?

どの考え方が使えそうか、1つ選んでみよう。

  • 奇数であることに着目してp=2k+1とする
  • いくつかの素数pを式に代入して考える
  • (p+1)(p+3)(p+5)を展開する
  • 48,144の倍数について式に代入して考える

回答を選んでください。

正解!よくわかったね!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

おしい!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

こうやって解く!

実際にどんなポイントで解いたらいいか見ていこう。

  • 中3レベル

POINT1

奇数である素数について考えるのは難しいので、まずは奇数である整数について考えよう。

POINT2

奇数であることに着目してp=2k+1を式に代入しよう。ただ、展開するのは大変そうなので、簡単な形に整理してみよう。

解き方のステップをスライドで確認しよう。

  • STEP1.Nが8の倍数になることを式で表す

    N=(p+1)(p+3)(p+5)にp=2k+1を代入しよう。
  • STEP2.(k+1)(k+2)(k+3)が6の倍数でもあることを確認する

    N=8(k+1)(k+2)(k+3)からNが48の倍数になることを確認しよう。
  • STEP3.(k+1)(k+2)(k+3)が9の倍数となる場合を考える

    144=8×2×9より,(k+1)(k+2)(k+3)がどのような数になれば,Nが144の倍数になるかを考えよう。

詳細な解き方を確認しよう。

(1)  pは奇数の素数であるから,p=2k+1(k≧1) とおくことができ,
N=(p+1)(p+3)(p+5)=(2k+2)(2k+4)(2k+6)=8(k+1)(k+2)(k+3)
ここで,k+1 , k+2, k+3は連続する3つの整数であるから,
これらのうち少なくとも1つは偶数で,いずれか1つは3の倍数である。
つまり,(k+1)(k+2)(k+3)は6の倍数である。
したがって,Nは48 の倍数である。(証明終了)

(2) 144 =16×9 である。(1)と同様に,N=8(k+1)(k+2)(k+3)で,k+1 , k+2, k+3のうち,少なくとも1つは偶数であるから,Nは16 の倍数である。
よって,k+1 , k+2, k+3のうち,いずれか1つが9の倍数であれば,Nは144 の倍数になる。
以上から,奇数の素数pを小さいほうから5つ探すと,
k+3=9のとき,k=6より,p=13
k+2=9のとき,k=7より,p=15 これは不適
k+1=9のとき,k=8より,p=17

k+3=18のとき,k=15より,p=31
k+2=18のとき,k=16より,p=33 これは不適
k+1=18のとき,k=17より,p=35 これは不適

k+3=27のとき,k=24より,p=49 これは不適
k+2=27のとき,k=25より,p=51 これは不適
k+1=27のとき,k=26より,p=53

k+3=36のとき,k=33より,p=67

以上より,p=13 , 17 , 31 , 53 , 67

※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

高校生レベル

※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

考え方をまとめよう!

今回使った考え方をまとめよう。

整数の分類

偶数、奇数を扱う問題の場合、kを自然数として、偶数の場合は2k、奇数の場合は2k+1などと文字でおいて考えよう。


整数の性質

連続した2つの自然数の積は必ず偶数になる、連続した3つの自然数の積は必ず6の倍数になる。
具体的な数について計算して、確かめてみよう。