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中学までの知識で解ける! 大学入試問題中学までの知識で解ける! 大学入試問題

新高1のキミへ新高1のキミへ
数学
2014年度 
九州大

この問題に挑戦!

実際に大学入試で出題された問題だ。

任意
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任意とは…
「任意の自然数a」というのは「すべての自然数a」と同じ意味です。
の自然数aに対し,a2を3で割った余りは0か1であることを証明せよ。

(入試問題より一部抜粋)

どうやって考える?

どの考え方が一番使えそうか、1つ選んでみよう。

  • aを3で割ったときの余りで分類する
  • a=1、2、3…と順に確かめる
  • aが3の倍数のときだけを考える
  • aが奇数のときと偶数のときに分けて考える

回答を選んでください。

正解!よくわかったね!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

おしい!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

こうやって解く!

実際にどんなポイントで解いたらいいか見ていこう。

  • 中3レベル

POINT1

自然数を3で割ったときの余りは0、1、2のいずれかであるから、それぞれの場合について、問題のことがらが成り立つかどうかを考える。

POINT2

nを整数とすると、3で割り切れる数は3n、3で割ると1余る数は3n+1、3で割ると2余る数は3n+2と表すことができる。

POINT3

つまり、a=3na=3n+1、a=3n+2のどの場合でも、a2を3で割った余りが0か1であることを、文字式の計算を利用して証明する。

解き方のステップをスライドで確認しよう。

  • STEP1.自然数を3で割ったときの余りで分類しよう。

    STEP1.すべての自然数は、nを整数として、3n、3n+1、3n+2で表すことができる。
  • STEP2.STEP1で分類した自然数をa2に代入しよう。

    STEP2.a=3n、a=3n+1、a=3n+2をそれぞれa^2に代入して、3で割った余りが見えてくるか確認しよう。

詳細な解き方を確認しよう。

詳細な解答

※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

考え方をまとめよう!

今回使った考え方をまとめよう。

この問題のような割り算と余りに関する問題では、すべての自然数(または整数)を、ある数で割ったときの余りで分類して考えることが有効な手段となります。 同様の考え方で証明できるので、「a2を4で割った余りは0か1である」も証明してみよう。