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中学までの知識で解ける! 大学入試問題中学までの知識で解ける! 大学入試問題

新高1のキミへ新高1のキミへ
数学
2012年度 
京都大

この問題に挑戦!

実際に大学入試で出題された問題だ。

次の命題について,正しいかどうか答えよ。正しければ証明し,正しくなければ
反例を挙げて正しくないことを説明せよ
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反例を挙げて正しくないことを説明せよ
反例とは、正しくないことの具体的な例のことを言う。今回は、AC<AD、BC<BDを満たす△ABC、△ABDのうち、∠C>∠Dとならないような例、つまり、∠C=∠Dや、∠C<∠Dとなる例を挙げればよい。

『△ABCと△ABDにおいて,AC<ADかつBC<BDならば,∠C>∠Dである。』

(入試問題より一部抜粋)

どうやって考える?

どの考え方が一番使えそうか、1つ選んでみよう。

  • 円周角の定理を使う
  • 三平方の定理を使う
  • 対称な図形の性質を使う
  • 相似な三角形を考える

回答を選んでください。

正解!よくわかったね!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

おしい!
実際にどう解けるか、次から見ていこう!

こうやって解く!

実際にどんなポイントで解いたらいいか見ていこう。

  • 中3レベル

POINT1

△ABCと△ABDは辺ABを共有していることに注目し、∠C=∠Dとなるような△ABCと△ABDを反例として考える。

POINT2

円周角の定理より、1つの円周上にA、B、C、Dがあるとき、△ABCと△ABDについて∠C=∠Dとなる。


円周角の定理

POINT3

1つの円周上にA、B、C、Dがあり、AC<ADかつBC<BDになるようなそれぞれの点の位置を考えることができれば、反例として解答することができる。

解き方のステップをスライドで確認しよう。

  • STEP1.線分ADを直径とする円をかく。

    線分ADを直径とする円を考える。
  • STEP2.次に、ADについて同じ側の円周上にA、B、C、Dの順になるように点B、Cをとる。
    このとき、△ABCと△ABDは、AC<ADかつBC<BDであるが、∠C=∠Dとなる。

    円周角の定理より、AC<ADかつBC<BDであるが、∠C=∠Dとなる△ABCと△ABDができる。

詳細な解き方を確認しよう。

この命題は正しくない。
2点A,Dをとり,線分ADを直径とする円をかく。
この円上に点Bを,点A,Dと重ならないようにとる。
さらに,点Aを含まない弧BD上に点Cを,点B,Dと重ならないようにとる。


詳細な解答

このとき,線分ADは直径なので,AC<AD
また,点Aを含まない弧BCは弧BDよりも短いので,BC<BD
円周角の定理より,∠C=∠D
よって,このような△ABCと△ABDは,AC<ADかつBC<BDであるが,∠C>∠Dではない。

具体的に,∠A=30°,∠B=120°,∠C=30°,AB=BC=1の△ABCと,∠A=60°,∠B=90°,∠D=30°,AB=1,AD=2の△ABDについて,考えてみてもよい。


※この解答解説は、すべてベネッセで独自に作成しています。

考え方をまとめよう!

今回使った考え方をまとめよう。

円周角の定理

1つの弧に対する円周角の大きさは一定である。
下の図について、∠APB=∠AQB


円周角の定理